Рассматривается задача наискорейшего перемещения модели двухколесного мобильного робота (машины) на плоскости, который может двигаться вперед и поворачивать с заданным минимальным радиусом поворота. Состояние системы "машина на плоскости" задается положением центральной точки оси колесной пары и углом ориентации оси на плоскости. Управляя линейной и угловой скоростью, требуется перевести систему за минимальное время из произвольно заданного начального в произвольно заданное конечное состояние. Задача имеет приложение в обработке изображений, траектории системы используются для восстановления поврежденных изофот и обнаружения выделяющихся кривых. Доказано существование решения для любых граничных условий. Установлено, что система является глобально управляемой, но не является локально управляемой. Получена оценка на время управления. На основе необходимого условия оптимальности, принципа максимума Понтрягина (ПМП), выведена гамильтонова система, описывающая экстремали в анормальном и нормальном случаях. Из анализа фазового портрета гамильтоновой системы ПМП получено описание качественно различных типов траекторий системы. Показано, что для почти всех траекторий существуют моменты времени, когда динамика системы переключается между двумя возможными видами: движение по окружности и движение по субримановой геодезической. Найден явный вид экстремальных управлений и получена параметризация экстремальных траекторий. Частично исследован вопрос оптимальности экстремалей.
Совещание "Математика в эпоху суперкомпьютеров" в рамках НСКФ-2022, Переславль-Залесский