Школа-конференция

Слабая КАМ теория

Вариационное исчисление – достаточно почтенная область математики, первые работы в которой были сделаны Исааком Ньютоном в 1696 г. Основным предметом вариационного исчисления являются задачи минимизации интегрального функционала в классах кривых или функций, определённых на области. Относительно молодой частью вариационного исчисления является слабая КАМ теория (также именуемая теорией Обри-Мазера), которая изучает поведение задачи вариационного исчисления с одномерной независимой переменной на длинных промежутках времени. Как и классическое вариационное исчисление, слабая КАМ теория тесно связана с теорией уравнений Гамильтона-Якоби. Однако возникающее в этом случае уравнение является стационарным и кроме того содержит наряду с производной от искомой функции также и искомую константу.

В курсе лекций я постараюсь осветить следующие вопросы:

• краткие сведения из вариационного исчисления; теорема существования решения задачи вариационного исчисления (теорема Тонелли);
• полугруппа Лакса-Олейник и постановка задачи слабой КАМ теории;
• вязкостные решения уравнения слабой КАМ теории и существование решения основной задачи слабой КАМ теории;
• связь задач слабой КАМ теории и бесконечномерного линейного программирования (теорема Мазера).

Эластики Эйлера в задачах оптимального управления

Будут рассмотрены постановки различных задач оптимального управления, в которых проекции оптимальных решений на плоскость описываются эластиками Эйлера. Впервые это семейство кривых было обнаружено Л.Эйлером в задаче о стационарных положениях плоского упругого стержня. Эластики Эйлера связаны с уравнением математического маятника --- каждая траектория маятника описывает некоторую эластику, при этом эластики Эйлера как траектории маятника параметризуются эллиптическими функциями Якоби. Кроме того, эластики Эйлера возникают во многих задачах оптимального управления, описывающих движение колесных роботов, а также в ряде субримановых (в том числе нильпотентных) задач. В каждой из таких задач условия оптимальности эластик Эйлера, как правило, отличаются. Для многих задач эти условия на данный момент остаются неизвестными, для их описания необходимо решить ряд открытых сложных вопросов.

Бильярды в небесной механике

Динамические системы небесной механики сложны для исследования. Все они (кроме задачи Кеплера) неинтегрируемы, и в фазовом пространстве перемежаются области регулярного и хаотического поведения. Дополнительные сложности вызваны сингулярностями при столкновении тел. В курсе лекций будет рассказано о методе исследования систем небесной механики, основанном на идеях теории бильярдов. В пределе, когда массы тел стремятся к нулю, траектории системы, близкие к столкновениям, стремятся к траекториям системы бильярдного типа. Вариационный принцип Гамильтона переходит в аналог вариационного принципа Ферма. На этом пути удается построить символическую динамику для траекторий, близких к столкновениям.

Случайное возмущение интегрируемых систем и теория усреднения 

Хотя естественных интегрируемых систем в природе не так много, систем близких к интегрируемым — полно. Например, солнечная система, если рассматривать ее как малое возмущение задачи двух тел Солнце-Юпитер, или классическая модель в неравновесной статистической механике — система слабо взаимодействующих нелинейных одномерных осцилляторов. Чтобы в такой системе увидеть нетривиальные эффекты, нужно ждать достаточно долго, хотя бы время, обратно пропорциональное величине возмущения интегрируемой системы. Оказывается, что на таких временах основная информация о динамике многих подобных систем хорошо описывается упрощенными уравнениями, полученными из исходных так называемой процедурой усреднения. В контексте небесной механики на физическом уровне строгости это наблюдение восходит еще к работам Лапласа и Лагранжа.

В математике и приложениях все чаще возникает потребность предполагать, что возмущение интегрируемой системы имеет не только детерминистскую компоненту, но содержит случайность, так, что итоговая динамика описывается системой стохастических дифференциальных уравнений. Оказывается, что теория усреднения в этом случае работает только лучше: результаты становятся сильнее и красивее, а доказательства — проще. Плата за это состоит в овладении техникой стохастического анализа, элементы которой я продемонстрирую на моих лекциях.

Особые экстремали

В теории оптимального управления большую роль играют особые экстремали (не путать с анормальными). Они возникают, когда в принципе максимума Понтрягина максимум гамильтониана H(x, p, u) достигается одновременно при нескольких разных значениях допустимого управления u.

Геометрическая картина таких экстремалей весьма нетривиальна. Например, в субримановой геометрии всякая анормальная экстремаль является особой, тогда как нормальные экстремали особыми не бывают. В (суб)финслеровой геометрии ситуация иная: особые экстремали возникают даже в нормальном случае, если сопряженный множитель ортогонален некоторой грани шара единичных скоростей.

В рамках мини-курса мы поговорим о специфике особых экстремалей в случае одномерного управления (что равносильно наличию выступающего ребра в (суб)финслеровой геометрии); о теореме о порядке особой экстремали и необходимое условие оптимальности Гоха; о возможности регулярной стыковки особой и неособой экстремалей. Также мы поговорим о связи этой теории с алгеброй: мы обсудим одну интересную открытую задачу из теории полей Галуа, которая естественным образом вырастает из изучаемой проблематики.

Задачи управления вращением пространства в моделях зрения и обработке сферических изображений

Доклад посвящен исследованию модельной неголономной управляемой системы на группе SO(3) вращений трехмерного пространства. По двум заданным состояниям SO(3) требуется найти траекторию, переводящую систему из одного состояния в другое за минимальное время. Два управляющих параметра задают скорости вращения вокруг двух базисных векторов подвижного репера, определяемого текущем состоянием. Рассматриваются различные ограничения на значения допустимых управлений. Случай, когда множеством допустимых управлений является единичный круг, соответствует левоинвориантной субримановой задаче. Обобщение на случай, когда радиус круга зависит от текущего состояния, соответствует конформной субримановой метрике. Также будет рассмотрен несимметричный случай, когда множеством допустимых управлений является полукруг. Рассматриваемые задачи определяют модели первичной зрительной коры головного мозга, уточняющие классическую модель Петито-Читти-Сарти путем учета кривизны сетчатки глаза. Также задачи востребованы для алгоритмов поиска выделяющихся линий на сферических изображениях.

Коприсоединенные орбиты групп Карно

Я расскажу о пуассоновой структуре на пространстве, двойственном к алгебре Ли, симплектическом слоении (слоении на коприсоединенные орбиты группы Ли) и функциях Казимира, которые являются первыми интегралами гамильтоновых систем, возникающих, в частности, при описании экстремальных траекторий левоинвариантных задач оптимального управления на группах Ли. Группы Карно играют важную роль в субримановой геометрии. Я приведу известные результаты и открытые вопросы, связанные с симплектическим слоением для групп Карно, с приложениями к субримановым и субфинслеровым структурам на группах Карно.

Задачи и методы геометрической теории управления

Первая лекция будет посвящена обзору фундаментальных результатов геометрической теории управления (теорема Нагано-Суссмана об орбите, теорема Рашевского-Чжоу, теорема Кренера, принцип максимума Понтрягина).

На остальных двух лекциях будет рассказано, как эти и другие результаты и методы применяются к решению конкретных задач оптимального управления:

• Свободные нильпотентные субримановы задачи,
• Лоренцева задача на плоскости Лобачевского,
• Сублоренцева задача на распределении Мартине,
• Задача быстродействия для уравнения Шредингера.

Sub-Finsler Geometry on Lie Groups

We will begin by introducing selected aspects of sub-Finsler geometry and Lie groups. We will then explore how techniques from Lie group theory can be applied to solve problems arising in control theory and sub-Finsler geometry. The theoretical framework developed in the first part of the course will allow us to formulate and prove a version of the Pontryagin Maximum Principle adapted to sub-Finsler Lie groups. We will conclude with a discussion of some consequences of this result.