Школа-конференция

Принцип максимума Понтрягина для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом в экономике.

Задачи оптимального управления с бесконечным горизонтом естественно возникают в экономике при исследовании процессов роста. Бесконечный интервал планирования вносит в задачи такого типа особенность, что является источником различного рода «патологических» эффектов в соотношениях принципа максимума. В частности, стандартные условия трансверсальности на бесконечности могут нарушаться. В настоящем курсе будет представлен недавно полученный полный вариант принципа максимума Понтрягина для рассматриваемого класса задач, содержащий явное описание сопряженной переменной. Предполагается обсудить экономическую интерпретация принципа максимума и рассмотреть ряд иллюстрирующих примеров.

Случайные динамические системы и сходимость к равновесию.

В последние время стохастика все глубже проникает в другие разделы математики, не говоря о прикладных задачах. В первую очередь, в математическую физику, дифференциальные уравнения, динамические системы, и даже в геометрию и теорию чисел. На стыке стохастики с этими областями получаются очень сильные и красивые результаты. Нередко оказывается, что случайное возмущение детерминистской системы «улучшает» и усиливает ее свойства, при этом упрощая их доказательство. Далее...

В качестве примера рассмотрим комнату, заполненную газом, состоящим из огромного числа молекул. Эта система описывается гигантским числом уравнений движения молекул, и к ней применима эргодическая гипотеза, утверждающая, что с течением времени система придет в некоторое равновесное состояние. Этот эффект каждый из нас наблюдал многократно: впустим в комнату холодный воздух через окно, и закроем его. Через некоторое время температура в комнате выровняется, и если комната хорошо изолирована, температура больше меняться не будет. Однако доказательство эргодической гипотезы в детерминистской постановке -- полностью открытая задача, настолько тяжелая, что по-видимому она не будет решена в ближайшем будущем. Рассмотрим теперь слабое случайное возмущение нашей системы. Это ествественно, так как в уравнениях движения мы, конечно, не могли учесть все силы, действующие на молекулы, и вклад неучтенных сил разумно считать случайным. Оказывается, что в такой стохастической постановке сходимость системы к равновесному состоянию удается доказать. Это свойство называется перемешиванием, и оно характерно для случайно возмещенных динамических систем. Его-то я в первую очередь и буду обсуждать в моем курсе. В частности, свойство перемешивания играет фундаментальную роль в задаче математического понимании турбулентности и теплопроводности - центральных нерешенных задачах современной математической физики. Возможно, вы уже видели доказательство перемешивания для простейших систем: для цепей Маркова его доказывают в стандартном курсе, и соответствующая теорема, обычно называемая эргодической (или теоремой о перемешивании), составляет центральный результат курса. Случайно возмущенные динамические системы, на которые мы будем смотреть, тоже образуют цепи Маркова, но только множество состояний в них не счетно, а континуально. Оказывается, что наличие перемешивания у случайно возмущенной системы тесно связано с вопросом ее управляемости. Если позволит время, мы обсудим и эту связь.

Введение в субриманову геометрию

На лекциях я планирую рассказать об основаниях субримановой геометрии и снабдить их показательными примерами.

• Теорема Рашевского-Чжоу: гладкий и аналитический случаи.
• Теорема Филиппова и существование кратчайших.
• Раздутия Громова и нильпотентная аппроксимация
• ЯЯ-теорема
• Отображение в конец, нормальные и анормальные экстремали
• Теорема Аграчева
• Субриманова теорема Хопфа-Ринова
• Объем Поппа
• Открытые проблемы субримановой геометрии.

Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли.

Будут представлены инвариантная форма принципа максимума Понтрягина и симметрийный метод построения оптимального синтеза для левоинвариантных задач оптимального управления на группах Ли. На этой основе будут рассмотрены конкретные задачи этого класса, в которых описаны экстремальные траектории или построен оптимальный синтез:

• Субриманова задача на группе Гейзенберга,
• Субриманова задача на группе движений плоскости,
• Задача Эйлера об эластиках,
• Задача о качении шара по плоскости,
• Сублоренцева задача на группе Гейзенберга,
• Лоренцева задача на группе аффинных функций на прямой.

О точной управляемости и стабилизируемости некоторых уравнений гидродинамического типа.

Цель лекций - обсудить постановку некоторых задач управления для систем дифференциальных уравнений гидродинамического типа, сообщить полученные результаты, а также нерешенные задачи. Основной является задача стабилизации решения дифференциальных уравнений посредством управлений различного вида, но обязательно обладающих важным свойством: управление должно быть с обратной связью.

Наиболее важным уравнением из рассматриваемых в лекциях, является система уравнений Навье-Стокса, описывающая течение вязкой несжимаемой жидкости.

Геометрия выпуклых областей в RP²

• метрики Гильберта и Блашке
• кривизна метрики Блашке и голоморфный кубический дифференциал
• проективный кубический дифференциал на границе области
• конформный тип области: параболический или гиперболический
• результат Дюма-Вольфа о параболичности многогранников
• связь с каноническим барьером на 3-х мерных конусах
• группы петель и голоморфный потенциал