В докладе будет рассказано о некоторых результатах полученных в ходе стажировки в Техническом университете Эйндховена  в 2014 - 2015 г. 

Будет представлен метод поиска выделяющихся кривых на плоских и сферических изображениях с помощью дата-адаптированных субримановых геодезических на группах Ли SE(2) и SO(3). 

Поиск выделяющихся кривых на изображении - широко известная задача машинного зрения. Многие методы основаны на идеи поиска таких кривых, как геодезических в некоторой метрике, определенной на изображении. Эта идея легла в основу предложенного метода, однако в отличие от известных методов, была использована субриманова метрика на лифте изображения на заданную группу Ли. В данном исследовании мы рассматриваем плоские и сферические изображения и их подъем на группы Ли SE(2) и SO(3) соответственно.

В качестве полигона для испытаний метода использовались фотографии сетчатки глаза человека, где выделяющимися кривыми являются кровеносные сосуды. Изменения сосудистой сети сетчатки (например изменение кривизны сосудов, их толщины, угла бифуркации и т.д.) являются индикаторами многих заболеваний, таких как сахарный диабет, атеросклероз, глаукома и др. Фото сетчатки предоставляет легкий неинвазивный способ диагностики этих расстройств. Создание автоматизированных средств такой диагностики является актуальной задачей в связи с тем, что, во-первых, число подобных заболеваний возрастает, и возникает потребность массового обследования; и, во-вторых, лечение часто возможно при выявлении патологического процесса на ранних стадиях. 

Дата-адаптированные субримановы структуры на группах SE(2) и SO(3) возникают естественным образом при поднятии 2D изображения (плоского и сферического) на расширенное пространство позиций и направлений. Такой лифт обоснован тем, что пересекающиеся кривые на изображении не пересекаются в расширенном пространстве позиций и направлений, что существенно облегчает трассировку сосудов. Использование субримановых геодезических вдохновлено принципами работы зрительной коры головного мозга человека. Будет показано, что такие кривые лучше справляются с задачей трассировки сосудов, чем Римановы геодезические.

Вычисления дата-адаптированных субримановых кратчайших основано на численном решении уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (описывающего распространение субримановых сфер из единицы группы), с последующим интегрированием горизонтальной части Гамильтоновой системы ПМП для поиска кратчайшей, удовлетворяющей заданным граничным условиям. Сравнение с явным решением, известным в частном случае левоинвариантной метрики, показывает высокую точность численного решения.