Лоренцева геометрия есть математическое основание теории относительности \cite{wald, beem, muller}. Она отличается от римановой тем, что здесь информация может распространяться вдоль кривых с векторами скорости из некоторого острого конуса.
Здесь естественной является задача отыскания лоренцевых длиннейших, максимизирующих функционал типа длины вдоль допустимых кривых. Поэтому важной задачей является описание лоренцевых длиннейших для всех пар точек, где вторая достижима из первой вдоль допустимой кривой. Насколько нам известно, эта задача полностью исследована лишь в простейшем случае левоинвариантной лоренцевой структуры в $\R^{n+1}$, для пространства Минковского $\R_1^{n+1}$ \cite{iv_tuzh}.
В этой заметке представлено описание лоренцевых длиннейших, расстояния и сфер для следующего естественного случая --- для левоинвариантных лоренцевых структур на единственной связной односвязной неабелевой двумерной группе Ли. Эти результаты получены методами геометрической теории управления \cite{notes, intro}.
Любопытно, что в этих задачах длиннейшие существуют не для всех достижимых пар точек, а лоренцево расстояние может быть бесконечным в конечных точках. При этом все экстремальные траектории (удовлетворяющие принципу максимума Понтрягина) оптимальны, то есть сопряженные точки и точки разреза отсутствуют. Оптимальные траектории параметризуются элементарными функциями, как и сферы и расстояния.