Доклад посвящен применению субримановых геодезических на 3-мерных группах Ли к анализу изображений. А именно, к анализу фотографий сетчатки глаза человека. В докладе будут обсуждаться две задачи:

(А) Субриманова (СР) задача на группе SE(2) с заданной внешней стоимостью,

(Б) СР задача на группе SO(3) со сферическими проекциями геодезических без точек возврата.

Обе задачи имеют применение в анализе изображений, а именно их решения обеспечивают способ соединения поврежденных контуров плоских и сферических изображений. Дуги поврежденных контуров, восстановленные с помощью решений задачи (А) представляют собой компромисс между СР геодезическими на SE(2) и горизонтальными кривыми, минимизирующими интеграл от внешней стоимости, заданной исходным изображением. Задача (Б) является сферическим аналогом задачи (А). Решение этих задач применяется для трассировки сосудов на цифровых фотографиях сетчатки глаза, и имеет важное значение для ранней диагностики диабетической ретинопатии и глаукомы.

(А) Будет предложен алгоритм решения СР задачи на SE(2) с заданной внешней стоимостью. Алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе вычисляется карта расстояний от начальной точки (единицы группы) в SE(2). На втором этапе решается двухточечная граничная задача оптимального управления с помощью метода наискорейшего спуска. Карта расстояний вычисляется, как стационарное вязкое решение соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, выведенного с помощью принципа максимума Понтрягина (ПМП). Для численного решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана использована конечно-разностная схема против потока. Метод наискорейшего спуска осуществляется путем численного интегрирования горизонтальной части ПМП. Сравнение с точным решением в случае отсутствия внешней стоимости, полученным Ю.Л. Сачковым (2011), демонстрирует высокую точность предлагаемого численного решения. Примеры трассировки сосудистой сети на фотографиях сетчатки глаза человека будут продемонстрированы. (Совместные исследования с E.J. Bekkers, R. Duits и G.R. Sanguinetti).

(Б) Задача нахождения СР геодезических на группе SO(3) со сферическими проекциями без точек возврата формулируется следующим образом: найти гладкую кривую с фиксированными граничными точками и направлениями на единичной сфере, минимизирующую компромисс между длиной и геодезической кривизной кривой. Такие кривые являются проекциями СР геодезических на группе SO(3) на поверхность единичной сферы. Эта задача является естественным сферическим уточнением модели первичной зрительной коры, предложенной Ж. Петито (2003), Дж. Читти и А. Сарти (2006). В данном исследовании, мы мотивировались тем, что сетчатка глаза человека не является плоской, что является важным фактором как для моделирования зрительной коры мозга млекопитающих, так и для обработки фотографий сетчатки. Задача рассматривается с естественным ограничением, вызванным приложениями в обработке изображений. А именно исследуются геодезические, проекции которых не имеют точек возврата. Получены явные формулы для СР-геодезических. Вычислено первое время возврата, т.е. первый момент времени вдоль СР-геодезической, где ее сферическая проекция имеет точку возврата. Вычислено множество достижимости вдоль геодезических без точек возврата. Получены оценки сопряженных точек в асимптотике вблизи положения равновесия математического маятника. Показано, что в отличие от СР-задачи на группе SE(2), в СР-задаче на группе SO(3) существуют неоптимальные СР-геодезические с проекциями без точек возврата. (Совместные исследования с R. Duits, Ю.Л. Сачковым, И. Ю Бесчастным).