Mashtakov A. P., Popov A. Y., Asymptotics of Extremal Controls in the Sub-Riemannian Problem on the Group of Motions of Euclidean Space, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2020, Vol. 16, no. 1, pp. 195-208
Рассматривается субриманова задача на группе движений трехмерного пространства. Такая задача встречается в теории обработки 3D изображений а также при описании движения твердого тела в жидкости. Математически эта задача сводится к решению гамильтоновой системы, вертикальная часть которой представляет собой систему из шести дифференциальных уравнений с неизвестными функциями u1...u6. Из соображений оптимальности, вытекающих из принципа максимума Понтрягина, следует, что последняя компонента векторного управления, равная u6, должна быть постоянной. В задаче движения твердого тела в жидкости это означает, что течение жидкости обладает однозначным потенциалом скоростей, т.е. является безвихревым. Наиболее важный для приложений и одновременно более простой случай (u6=0) был детально исследован авторами в публикации 2017 года: было найдено решение системы в явном виде, а именно получены выражения u1, ..., u5 через эллиптические функции. В этой работе рассматривается общий случай: u6 --- произвольная постоянная. В этом случае удалось получить решение системы уравнений в операторной форме, однако явный вид управлений напрямую из этих формул не следует, их вычисление требует обращения некоторого нетривиального оператора. Для малого параметра u6 построено приближенное аналитическое решение; численные эксперименты показывают хорошее совпадение построенной аналитической аппроксимации решений с решениями системы, найденными численными методами.