Рассматривается модификация субримановой задачи на группе SE(2) движений плоскости, в которой управление лежит в круговом секторе. Такая постановка востребована в робототехнике --- рассматриваемая система задает модель мобильного робота (машины) на плоскости, который может двигаться поступательно и поворачивать с заданными ограничениями на линейную и угловую скорость. Также задача возникает в обработке изображений --- исследуемые траектории применяются для восстановления поврежденных изофот и поиска выделяющихся кривых. Помимо актуальности с точки зрения приложений рассматриваемая задача представляет самостоятельный интерес в геометрической теории управления, как модельный пример, в котором нулевое управление находится на границе множества управляющих параметров. Ранее одним из авторов был детально исследован частный случай, когда управление принадлежит полукругу. В данной работе результат обобщается на общий случай кругового сектора. Исследована глобальная управляемость системы и существование оптимального управления. К задаче применен принцип максимума Понтрягина (ПМП): выведена гамильтонова система ПМП в анормальном и нормальном случаях. Анализ фазового портрета гамильтоновой системы ПМП позволил получить описание качественно различных типов траекторий системы. Показано, что для почти всех траекторий существуют моменты времени, когда динамика системы переключается между двумя возможными видами: движение по окружности или движение по субримановой геодезической. Предложен метод интегрирования гамильтоновой системы ПМП, состоящий из отдельного интегрирования различных видов динамики и их последующей склейки. Найден явный вид экстремальных управлений и получена явная параметризация экстремальных траекторий.
We study a time minimization problem for a model of a car that can move forward on a plane and turn with a given minimal turning radius. Trajectories of this system are used in image processing for the detection of salient lines. We prove controllability and existence of optimal trajectories. Then, we apply a necessary optimality condition --- Pontryagin maximum principle to derive a Hamiltonian system for the extremals. We provide qualitative analysis of the Hamiltonian system and obtain an explicit expression for the extremal controls and trajectories.
XVI International conference “Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems” (Pyatnitskiy’s conference), Moscow